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L'œil d'Horus

 
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Ase


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MessagePosté le: Jeu 3 Fév - 23:10 (2011)    Sujet du message: L'œil d'Horus Répondre en citant

Pour introduire un sujet sur les mathématiques égyptiennes, je vais vous présenter un conte fascinant. 

Voici l'œil d'Horus avec son équivalence mathématique. On y perçoit les six éléments de l'œil utilisés par les scribes comptables pour représenter des écritures fractionnaires (plus précisément des fractions dyadiques). On pourra remarquer que le numérateur est toujours égal à 1 (il s'agit donc de fractions unitaires). 

 

Un peu d'histoire maintenant : 

L'œil d’Horus se dit oudjat en égyptien ce qui peut se traduire par "complet". 
Il représente un œil humain fardé et souligné de deux marques colorées caractéristiques du faucon pèlerin. Dans l'Égypte antique, les scribes l’utilisaient pour indiquer les fractions du hékat, unité de mesure de capacité qui servait pour les céréales, les agrumes et les liquides (un hékat valait environ 4,785 litres). 


L'origine de cette notation est accompagnée de mythologie : celle de la lutte entre Horus et Seth. 
 
 
Osiris, premier souverain de la terre d’Égypte, avec l’aide de Thot, maître suprême de l’arithmétique, de la parole et des scribes, initie les Égyptiens à l’écriture, à la science et à la magie. À l’opposé, son frère Seth, incarnation du mal, est jaloux et hait Osiris en raison de l’affection que tous lui portent. Seth après avoir tué Osiris s’en prendra à son fils Horus, considéré comme le dieu du ciel. 
 
 
Au cours d’un combat, Seth arrache l’œil gauche d’Horus, le coupe en six morceaux et le jette dans le Nil. À l’aide d’un filet, Thot récupère les morceaux un à un, mais il en manquera un ! Thot réussira à le réparer miraculeusement et rendra l'œil à son propriétaire. 
En mettant la somme des fractions ci-haut au même dénominateur, l'oudjat vaut 63/64 ; le 1/64 manquant est le liant magique ajouté par Thot pour permettre à l’œil de fonctionner dans sa totalité. 
 
 
La légende nous rapporte qu'un élève-scribe (*) fit un jour remarquer à son maître que le total des fractions de l’oudjat ne donnait pas 1 ; on lui répondit que le 1/64 manquant pour parfaire l’unité mathématique parfaite serait toujours fourni par Thot au prodige qui se placerait sous sa protection. 
 
 
De cette légende, l’oudjat deviendra pour les Égyptiens le symbole de la lumière, d’abondance, de fertilité et de la connaissance : l'œil du faucon est l'œil qui voit tout à partir du ciel (en particulier les bonnes récoltes, la prévision absolue, la bonne fécondité). On le portera comme porte-bonheur, figurera sur les amulettes, sur les peintures murales, dans les tombes pour chasser les mauvais esprits. 
 
 
Et cet œil désignera pour toujours la victoire des forces du Bien sur celles du Mal. 

(*) http://www2.cnrs.fr/presse/journal/828.htm 
 
 

Les mathématiques égyptiennes : 
 
 
Les anciens égyptiens connaissaient l'arithmétique. Celle-ci avait un aspect pratique : les égyptiens sont un peuple de marchands. Pour eux, l'arithmétique apparaît donc comme une physique des nombres. 
 
 
Dans le conte ci-dessus, on se rend compte que leurs mathématiques relève de la Tradition (celles-ci étant distribués dans les Maisons de Vie). Il est, de plus, intéressant de remarquer que le dieu Thot use de magie pour réparer l'œil d'Horus, ce qui laisse supposer que le dieu Thot connaissait les règles d'opérations sur des fractions. Les égyptiens connaissaient les fractions, se servaient de fractions unitaires et lorsque des fractions non unitaires surgissaient ils savaient les décomposer en somme de fractions unitaires. Mais connaissaient-ils les séries dyadiques ? A priori non, rien ne le laisse explicitement supposer. Par contre, ce que supposent certains égyptologues, est que la magie de Thot puisse être d'ordre mathématique, les symboles magiques se confondant avec les signes hiéroglyphiques. Du moins, c'est ce que ce conte laisse à penser. 
 
 



 
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MessagePosté le: Jeu 3 Fév - 23:10 (2011)    Sujet du message: Publicité

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Mitra
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MessagePosté le: Ven 4 Fév - 06:53 (2011)    Sujet du message: L'œil d'Horus Répondre en citant

Trés intéressant Ase  Okay

Par rapport à ceci j'ai plusieur questions. Est ce que la connaissance de la signification de l' Oeil d' Horus et des fractions mathématiques, était reservée aux dirigeants, ou bien n'importe quel paysan, commerçant , etc ... egyptien etait capable de la connaitre et de l'utiliser au quotidien ?

Le conte de l'oeil d' Horus découpé par Seth avait il vocation à être didactique afin de familiariser le peuple aux principes et utlisations des fractions ?

Qu'est ce que les maisons de vie , les series dyadiques ?
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Ase


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MessagePosté le: Ven 4 Fév - 09:18 (2011)    Sujet du message: L'œil d'Horus Répondre en citant

Oui c'était didactique d'après le papyrus de Rhind. Les marchands égyptiens utilisaient les fractions pour les échanges avec leurs voisins grecs, bien que leur manipulation de celle-ci soit un peu contraignante. Par exemple, pour eux 3/4 n'était pas vu comme un rapport de 3 sur 4, mais plutôt comme la somme de 1/2 et de 1/4. Alors vous imaginez quand vous avez une fraction non unitaire qui s'exprime sous forme d'une très longue somme, d'un très long enchaînement de fractions unitaires... Le zéro n'existant pas (les égyptiens ne le connaissaient pas) les calculs étaient abominablement longs. Ils avaient intérêt à savoir calculer. Ce qui explique les rapports difficiles avec leurs voisins qui utilisaient la même métrique et algèbre de calcul. La connaissance du zéro aurait pu rendre obsolète cette utilisation se voulant pratique mais de fait ne l'étant pas.


De plus il faut savoir que le droit de propriété était très important chez les anciens égyptiens. Chaque parcelle de terre à un prix, le simple vol d'un peu de boue de terre était punissable. En ce qui concerne, le système juridique égyptien, le livre des morts nous raconte que le défunt doit jurer aux dieux qu'il n'a pas fait de mal à son voisin en lui prenant un coin de terre. Si il à nuit à son voisin, son coeur était dévoré par le dévoreur, et il pouvait oublier sa place bénie sur l'île des bienheureux. Et pour connaître les dimensions de ses parcelles de Terre il fallait également connaître les fractions, le calcul des surfaces de terrain, la perspective volumique, le calcul du volume et du périmètre. 


Le peuple avait donc quelques bases de géométrie (dont on dit qu'ils l'ont inventé). Cela ne signifie pas qu'ils étaient tous mathématiciens dans l'âme. Ils se souciaient peu des mathématiques, les mathématiques étaient un objet pratique de mesure (compter l'écoulement des jours, délimiter les parcelles de terrain, etc.), pas un domaine de recherche philosophique. A part ce conte, je ne vois pas d'autres contes à consonance philosophique et mathématique. Je suppose que les égyptiens le connaissaient ne serait-ce que parce qu'en bon superstitieux, ils devaient porter des amulettes de protection contre les mauvais esprits.




Citation:
Qu'est ce que les maisons de vie , les séries dyadiques ?



Maisons de vie = Ecoles d'enseignements.
http://www2.cnrs.fr/presse/journal/828.htm


Et les fractions dyadiques sont les fractions dont le dénominateur s'exprime sous la forme d'une puissance de 2 : 1/2, 1/4, 1/16, 1/64, etc.





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Mitra
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MessagePosté le: Sam 5 Fév - 12:31 (2011)    Sujet du message: L'œil d'Horus Répondre en citant

Et des fractions comme 1/3 , 4/5 eme  etc ... ils les utilisaient aussi ?

En terme de calcul , ils utilisaient les opérations de bases : addition , soustraction, division , multiiplication ? des puissances aussi tu crois ?
Ets ce que des choses comme des equations , des racines carrées , des calculs de surface, des calculs de proabilités leur etaient connus ?

Si par exemple tu avaois a positionner les connaissances des egyptiens en mathématiques par rapport aux connaissances d'aujourd'ui ; Ils se situerait a quel niveau d'etude ?
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Ase


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MessagePosté le: Mer 9 Fév - 15:13 (2011)    Sujet du message: L'œil d'Horus Répondre en citant

Citation:
Et des fractions comme 1/3 , 4/5 eme  etc ... ils les utilisaient aussi ?



Ils utilisaient des fractions unitaires. Donc oui ils utilisaient la fraction 1/3.
Et s'ils connaissaient 4/5 c'était pas sous l'angle du rapport 4/5 mais de la somme 1/5 + 3/5, ce qui pose la question de savoir s'ils connaissaient 3/5. Or 3/5 = 3/2*(1/5+1/5). Ils connaissaient la fraction rarement utilisé de 2/3, et j'ignore s'ils connaissaient son inverse.

Il y a d'autres décompositions possibles dont notamment celle-ci qui est évidente en premier lieu : 4/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 dont les égyptiens devaient connaître. Par contre les décompositions du type "suites itératives de Fibonacci" ils ne devaient pas connaître ou alors c'était empirique.


Citation:
En terme de calcul , ils utilisaient les opérations de bases : addition , soustraction, division , multiiplication ? des puissances aussi tu crois ? 



Ils connaissaient l'addition et la soustraction qu'ils utilisaient via des méthodes de superposition et de calcul mental. Associée au mythe précédant qu'on a vu. Le signe "+" était représenté par deux jambes (celle du dieu Thot) tourné vers l'Ouest.  Le signe "-" était représenté par deux jambes (celle du dieu Thot) tourné vers l'Est. Donc quelque part, on peut dire qu'ils connaissaient les nombres relatifs positifs et négatifs (mais sans avoir l'idée de les représenter sur une droite graduée, ce qui aurait demander une connaissance plus abstraite : prendre en compte une unité de longueur, un sens et enfin une origine, le zéro qu'ils ne connaissaient pas).


Pour la multiplication et la division qu'ils connaissaient également, la méthode est explicitée dans le Papyrus Rhind. Ils faisaient appel à ce qu'aujourd'hui on appellerait un tableau d'opération sans forcément avoir besoin de tables de multiplications et de divisions.
Et ils ne connaissaient pas les puissances d'un nombre (puisqu'ils ne savaient pas réduire leurs expressions), à part peut-être le carré (à cause des aires) et le cube (à cause des volumes).


Citation:
Ets ce que des choses comme des equations , des racines carrées , des calculs de surface, des calculs de proabilités leur etaient connus ? 



Ils avaient une connaissance de la perspective géométrique (assez sommaire) et des facteurs d'échelle. Les hiéroglyphes nous montrent qu'ils connaissaient les angles (sans connaître le vocabulaire associée : aigu, obtu, adjacents, etc.), la mesure d'un angle (j'ignore ce qu'ils utilisaient pour les constructions d'angles, je ne pense pas au rapporteur), et une petite connaissance en trigonométrie. J'ignore cependant s'ils connaissaient que la somme des angles d'un triangle fait 180°. Ils savaient donc calculer des surfaces (sans pour autant connaître le nombre Pi), et des volumes. 


En ce qui concerne l'algèbre linéaire, ils ne connaissaient pas la notion de variables et donc non plus d'expressions littérales. Cependant certains auteurs avaient jadis dit qu'ils savaient réaliser des équations du premier degré (donc à une inconnue) cela ressortirait du papyrus Rhind. Mais j'ignore ces travaux.


Citation:
Si par exemple tu avaois a positionner les connaissances des egyptiens en mathématiques par rapport aux connaissances d'aujourd'ui ; Ils se situerait a quel niveau d'etude ?



Il est évident que cela n'est pas comparable. Leurs connaissances pour leur époque était extraordinaire.
Maintenant, ce n'est pas à moi de juger de leurs connaissances en regard de celle d'aujourd'hui mais bien plutôt à un ethno-mathématicien qui aura une perspective bien plus objective.


Ce que je peux dire par contre, en regard de l'utilisation des fractions unitaires à un niveau fondamental, c'est que sans méthode rigoureuse leur utilisation devait être assez empirique. Il y a des méthodes précises pour décomposer des fractions en fractions unitaires que les égyptiens ne connaissaient évidemment pas. Ces méthodes permettent à la fois de simplifier plus rapidement un calcul et de minimiser le nombre de fractions, et sans la prise en compte de tels méthodes, les calculs peuvent être réellement fastidieux pour des fractions dont à la fois le numérateur et le dénominateur sont grands.
Une petite remarque, néanmoins, les égyptiens ne connaissaient pas les fonctions (et pour faire vaste les méthodes de l'analyse moderne qui permettent entre autre de mesurer des surfaces), et nous, nous avons la chance de connaître l'analyse des fonctions (tableau de variation, dérivée, intégration, étude de fonctions, etc.) ainsi que le calcul différentiel contrairement aux égyptiens, et bien souvent c'est agréable et bien pratique de pouvoir utiliser celui-ci. Donc je peut faire une extrapolation en disant que la réduction aux fractions unitaires leur à probablement ralentie la compréhension et le développement de leurs mathématiques.
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Mitra
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Messages: 6 951

MessagePosté le: Mar 1 Mar - 07:06 (2011)    Sujet du message: L'œil d'Horus Répondre en citant

Bonjour Ase  Wink

Pourrais tu nous en dire plus sur ce Payprus:



RHIND Papyrus - a priori vieux de 4000 ans  et sa signification mathematique Question
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MessagePosté le: Aujourd’hui à 05:53 (2017)    Sujet du message: L'œil d'Horus

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